Sune Axelsson

---

Om talens natur i ett algebraiskt perspektiv

Under århundraden läste elever på läroverken en kurs i euklidisk geometri. Från axiom och enkla satser utvecklas teorin och bevis ges för Pythagoras kända sats. Förutom kunskaper i geometri gav kursen klara inblickar i hur man stegvis med logiskt tänkande kan vidga kunskapen inte bara inom matematiken. Denna metodik illustreras här med heltalen som inledande exempel. Satser härleds för udda och jämna tal vid addition, multiplikation och olika talbaser. Detta leder vidare till rationella, reella, komplexa tal, kvaternioner och deras samband med algebraiska grupper, ringar och kroppar. Inblickar ges också i ekvationslösning, mängdlära, satslogik och sannolikhetsteorin, där även kvoter, produkter mellan slumpvariabler och centrala gränsvärdessatsen behandlas. Avslutningsvis beskrivs hur informationen om en slumpmässig händelse kan kvantifieras från dess sannolikhet och entropibegreppet. Det är min förhoppning att boken kan nyttjas som inspirationskälla och kurskomplement för lärare och elever och även nå den intresserade allmänläsaren. INNEHÅLL: I. Inledning. II. De naturliga talen. III. Romerska och arabiska siffror. IV. Mängder och bevismetoder. V. Heltalens egenskaper (addition, multiplikation, udda och jämna heltal, primtal, ordnings- och modulobegreppet och kongruens, delbarhet, algebraiska egenskaper). VI. Rationella tal (definition, räkneregler, inverselement, bevis att roten ur två inte är ett rationellt tal). VII. De komplexa talen (addition, multiplikation, division, inversen, polär form, kvaternioner). VIII. Grupper, kroppar, ringar. IX. Ekvationslösning (linjära, i matrisform, andra- och tredjegrads och diofantiska). X. Satslogikens grunder (symboler, samband, oskarp logik). XI. Sannolikheter (Kolmogorovs axiom, grundläggande samband, kombinatorik, födelsedagsparadoxen, kvoter och produkter av stokastiska variabler, den karakteristiska funktionen, centrala gränsvärdessatsen). XII. Ett informationsmått (härledning av entropibegreppet och dess koppling till informationsöverföring). Appendix I: Peanos axiom. Appendix II: Fermats Lilla Sats. Appendix III: Serieutvecklingar. Appendix IV: Kombinatorik. Författaren har forskarbakgrund inom radarteori och fjärranalys och var adjungerad forskningschef och professor vid FOI och Linköpings universitet.